المعجم · مفاهيمُ بلسانَين

مُفرداتُ المنطق

المفاهيمُ الأساسية، كلٌّ مُعرَّفٌ بدقّة، بالعربية والإنجليزية. والعربيةُ التقنيةُ الدقيقةُ في المنطق نادرة، وهذه محاولةٌ صغيرةٌ لتقييدها.

القضية Proposition p, q: عبارةٌ خبريةٌ تحتمل الصدقَ أو الكذب، حاملُ القيمة الصدقية الأساس. في المفاهيم الأساسية
الصلاحية Validity: خاصّةٌ في الحجج: تَصدُق النتيجةُ في كلِّ تأويلٍ تَصدُق فيه المقدّماتُ جميعًا. $Γ ⊨ φ$ في المفاهيم الأساسية
الإحكام Soundness: يكون النسقُ مُحكَمًا إذا كان كلُّ ما يُبرهنه صالحًا؛ فلا يَستنبط باطلًا من حقّ. $Γ ⊢ φ \Rightarrow Γ ⊨ φ$ في المنطق الرياضي
الاكتمال Completeness: يكون النسقُ مكتملًا إذا أمكن برهنةُ كلِّ صالحٍ فيه (مبرهنةُ غودل للاكتمال في منطق المرتبة الأولى). $Γ ⊨ φ \Rightarrow Γ ⊢ φ$ في المنطق الرياضي
الاتساق Consistency: تكون النظريةُ متّسقةً إذا لم تُبرهن تناقضًا، فلا تُثبت قضيةً ونقيضَها معًا. $Γ ⊬ ⊥$ في المنطق الرياضي
المُسوِّر Quantifier ∀ ∃: رمزٌ يربط متغيِّرًا على مجال: الكلّي ∀ («لكلّ») والوجودي ∃ («يوجد»). $\forall x φ (x) \exists x φ (x)$ في منطق المحمولات
القياس Syllogism: صورةُ الاستدلال عند أرسطو: مقدّمتان يجمعهما حدٌّ أوسط تُنتِجان نتيجة. $\frac{All M are P All S are M}{All S are P}$ في المنطق القديم
قياسُ الوضع Modus ponens: قاعدةُ الفصل الأساس: من A ومن «A تستلزم B»، يُستنتَج B. $\frac{A A \to B}{B}$ في منطق القضايا
جدولُ الصدق Truth table: جدولٌ يُعطي القيمةَ الصدقيةَ لقضيةٍ مركّبةٍ عند كلِّ إسنادٍ صدقيٍّ لذرّاتها. في منطق القضايا
قضيةٌ واجبةُ الصدق Tautology: قضيةٌ تَصدُق في كلِّ تأويل: صِدقٌ منطقيٌّ خالص. $⊨ φ$ في منطق القضايا
الثالثُ المرفوع Excluded middle: القانونُ الكلاسيكيُّ بأنَّ كلَّ قضيةٍ إمّا صادقةٌ وإمّا كاذبة، يردُّه المنطقُ الحدْسي. $φ \lor \neg φ$ في المنطق اللاكلاسيكي
الاستنباطُ الطبيعي Natural deduction: نظامُ غنتسن للبرهان، مبنيٌّ على قواعدِ إدخالٍ وحذفٍ تُحاكي الاستدلالَ الطبيعي. في نظرية البرهان
حسابُ المتواليات Sequent calculus: حسابُ غنتسن العاملُ على متوالياتٍ Γ ⊢ Δ، محورُ نظرية البرهان البنيوية. $Γ ⊢ Δ$ في نظرية البرهان
حذفُ القطع Cut elimination: مبرهنةُ غنتسن الكبرى: كلُّ برهانٍ مُتوالٍ يُعاد دون قاعدة القطع، فتلزم خاصّةُ القضية الجزئية. $\frac{Γ ⊢ A A , Δ ⊢ B}{Γ , Δ ⊢ B}$ في نظرية البرهان
النموذج · التأويل Model: بنيةٌ تُسنِد معنًى لرموز لغةٍ ما، تَصدُق تحتها جملُها أو تكذب. $M ⊨ φ$ في المنطق الرياضي
التراصّ Compactness: لمجموعةٍ من جُمَل المرتبة الأولى نموذجٌ إذا وفقط إذا كان لكلِّ جزءٍ منتهٍ منها نموذج. $Σ satisfiable ⟺ every finite Σ_{0} \subseteq Σ satisfiable$ في المنطق الرياضي
لوفنهايم–سكولم Löwenheim–Skolem: إن كان لنظريةٍ من المرتبة الأولى نموذجٌ لا نهائي، فلها نماذجُ من كلِّ عددٍ أصليٍّ لا نهائي. في المنطق الرياضي
قضيةُ النقطة الثابتة Diagonal (fixed-point) lemma: في نظريةٍ قويةٍ بما يكفي، لكلِّ محمولٍ ψ جملةٌ تُثبِت ψ‑يتها عن نفسها: محرّكُ غودل وتارسكي. $⊢ φ \leftrightarrow ψ (┌ φ ┐)$ في المنطق الرياضي
عدمُ الاكتمال Incompleteness: غودل: كلُّ نسقٍ صوريٍّ متّسقٍ يكفي للحساب يحوي قضايا صادقةً لا يستطيع برهنتها. $G \leftrightarrow \neg Prov (┌ G ┐)$ في المنطق الرياضي
ترقيمُ غودل Gödel numbering: ترميزُ رموز لغةٍ صوريةٍ وبراهينِها أعدادًا طبيعية، فيغدو الحسابُ قادرًا على الحديث عن نفسه. $┌ φ ┐ \in N$ في المنطق الرياضي
العوالمُ الممكنة Possible worlds □ ◇: دلالةُ كريبكي لمنطق الجهات: الضرورةُ صِدقٌ في كلِّ عالمٍ متاح، والإمكانُ في بعضِه. $□ φ \equiv \forall w (R w \Rightarrow φ^{w})$ في منطق الجهات
تجريدُ لامدا λ-abstraction: تدوينُ تشرتش لدالّةٍ تُعرَّف بمقدار: ذرّةُ الحوسبة الدالّية. $λ x . M$ في المنطق الحاسوبي
تناظرُ كَري–هاوَرد Curry–Howard: التناظرُ الذي تكون فيه القضايا أنماطًا والبراهينُ برامج: المنطقُ والحوسبة، مُتطابقَين. $proof of A ≅ program of type A$ في نظرية الفئات
القابليةُ للبَتّ Decidability: مسألةٌ قابلةٌ للبَتّ إن وُجِدت خوارزميةٌ تَحسِم كلَّ حالةٍ في زمنٍ منتهٍ؛ والمنطقُ ملِيءٌ بغيرِ القابل. في المنطق الحاسوبي
العددُ الأصلي Cardinality: حجمُ المجموعة، عمّمه كانتور إلى اللانهائي: ℵ₀ والمتّصل وما وراءهما. $ℵ_{0} < 2^{ℵ_{0}}$ في نظرية المجموعات والأسس
بديهيّاتُ ZFC The ZFC axioms: نظريةُ مجموعات تسيرملو–فرانكل مع الاختيار: الأساسُ البَدَهيُّ المعياريُّ للرياضيات الحديثة. $ZF + AC$ في نظرية المجموعات والأسس
الجبرُ البولياني Boolean algebra: البنيةُ الجبريةُ للقضايا الكلاسيكية: الالتقاءُ والاتحادُ والتتميمُ على قوانين التوزيع. $(B, \land, \lor, \neg, 0, 1)$ في المنطق الجبري
الأحادية Univalence: بديهيةُ ڤويفودسكي: الأنماطُ المتكافئةُ متساوية، قلبُ نظرية النمط الهوموتوبي. $(A = B) ≃ (A ≃ B)$ في أبحاث الطليعة