المبرهنات · ما اكتشفه المنطق
النتائج
المفاهيمُ مُفرداتٌ، والمبرهناتُ اكتشافات. نتائجُ المنطق الكبرى، كلٌّ مذكورٌ في تدوينٍ حقيقي، موصولٌ بالعقل الذي برهنه وبالحقل الذي أعاد تشكيله.
- القياس (الشكلُ الأول) The Syllogism (Barbara) c. 350 BCE
الاستدلالُ الصحيحُ مردودٌ إلى صورة: مقدّمتان كلّيتان يجمعهما حدٌّ أوسط تُلزِمان نتيجةً كلّية.
- مبرهنةُ كانتور Cantor’s Theorem 1891
لا تُرسَم مجموعةٌ على مجموعةِ قواها، فثمّةَ أحجامٌ لا نهائيةٌ متمايزةٌ للانهاية.
- مبرهنةُ لوفنهايم–سكولم Löwenheim–Skolem 1920
لنظريةٍ عَدودةٍ من المرتبة الأولى ذاتِ نموذجٍ لا نهائي نماذجُ من كلِّ عددٍ أصليٍّ لا نهائي، منها غيرُ المقصود.
- مبرهنةُ الاكتمال Completeness Theorem 1929
في منطق المرتبة الأولى، يتطابق الصدقُ الدلاليُّ والبرهنةُ الصورية تمامًا: ما صَلُح أمكن برهانُه.
- مبرهنةُ التراصّ Compactness Theorem 1930
لمجموعةٍ من جُمَل المرتبة الأولى نموذجٌ إذا وفقط إذا كان لكلِّ جزءٍ منتهٍ منها نموذج: محرّكُ نظرية النماذج.
- عدمُ الاكتمال الأول First Incompleteness 1931
كلُّ نسقٍ متّسقٍ قويٍّ بما يكفي للحساب يحوي قضيةً صادقةً لا يستطيع برهنتها.
- عدمُ الاكتمال الثاني Second Incompleteness 1931
لا يستطيع نسقٌ كهذا برهانَ اتساقه؛ فاليقينُ بنسقٍ لا يأتي إلا من خارجه.
- لاتعريفيةُ تارسكي Tarski’s Undefinability 1933
لا يُعرَّف الصدقُ الحسابيُّ داخل الحساب نفسِه؛ فالصدقُ يفوقُ لغتَه أبدًا.
- حذفُ القطع Cut-Elimination (Hauptsatz) 1935
كلُّ برهانٍ مُتوالٍ يُعاد دون قاعدة القطع؛ فلا يحتاج برهانٌ التفافًا عبر قضيةٍ وسيطة.
- عدمُ قابلية مسألةِ التوقّف للبَتّ Undecidability of the Halting Problem 1936
لا خوارزميةَ تَحسِم لكلِّ برنامجٍ أيتوقّف، ولا أصالحةٌ جملةُ المرتبة الأولى.
- اتساقُ الحساب Consistency of Arithmetic 1936
اتساقُ حساب بيانو قابلٌ للبرهان باستقراءٍ متعالٍ حتى ε₀، قياسًا دقيقًا لقوّته.
- استقلالُ فرضية المتّصل Independence of the Continuum Hypothesis 1963
فرضيةُ المتّصل لا تُبرهَن ولا تُدحَض من ZFC: حسمها غودل وكوهين معًا.
- مبرهنةُ ليندستروم Lindström’s Theorem 1969
منطقُ المرتبة الأولى أقوى منطقٍ يجمع التراصَّ وخاصّةَ لوفنهايم–سكولم: صورةٌ لحدوده.
- تناظرُ كَري–هاوَرد Curry–Howard Correspondence 1969
البراهينُ والبرامجُ كائناتٌ واحدةٌ حقًّا: أن تَبرهن أن تَحسُب، فالمنطقُ والحوسبةُ شيءٌ واحد.